информационный портал по вопросам биомедицинской инженерии

Сейчас на сайте 0 пользователей и 0 гостей.

Вход в систему

аватар: Макарова Мария Сергеевна

Макарова Мария БМП-109.
Z-преобразование.

Спектр аналогового сигнала x(t) при дискретизации с периодом Т размножается повторяясь в прямом или зеркальном отражении в каждой зоне Найквиста. При этом всю необходимую информацию содержит спектр в первой зоне Найквиста. В аналитическом виде повторяющиеся спектры только усложняют формулы и затрудняют их понимание и преобразования. Z-преобразование представляет спектр дискретного сигнала в первой зоне в виде степенного ряда.
Общее представление систем дискретного времени
Система дискретного времени – это математический алгоритм, входом которого служит последовательность x(n), а на выходе появляется последовательность y(n). Примерами систем дискретного времени могут служить цифровые контроллеры, цифровые анализаторы спектров и цифровые фильтры.
Система дискретного времени может быть линейной или нелинейной, инвариантной относительно времени или изменяющейся со временем. Система дискретного времени линейна, если она подчиняется принципу суперпозиции, т. е. отклик системы на несколько входных сигналов равен сумме откликов этой системы на каждый сигнал в отдельности при отсутствии всех остальных входных сигналов.
Например, если вход x1(n) системы дает выход y1(n), а другой вход x2(n) дает выход y2(n), то отклик системы на оба входа будет равен

          
где a1 и a2 – произвольные константы.
Говорят, что система дискретного времени инвариантна относительно времени (иногда ее называют инвариантной относительно сдвига), если ее выход не зависит от времени приложения входа. Например, если вход x(n) дает выход y(n), то вход x(n-k) даст выход y(n-k):
             
       
т. е. задержка входного сигнала приведет к такой же задержке выходного сигнала. Взаимосвязь между входом и выходом ЛИВ-системы задается сверточной суммой аналогичной интегралу Дюамеля для аналоговых систем

         
где h(k) – импульсная характеристика системы. Значения h(k) полностью определяют систему дискретного времени во временной области. ЛИВ-система устойчива, если ее импульсная характеристика удовлетворяет условию
                
Это условие справедливо, если h(k) имеет конечную длину или если она стремится к нулю при увеличении k.
Физически реализуемой называется система, которая дает выход только при наличии сигнала на входе. В общем случае, физически реализуемая последовательность дискретного времени x(n) или импульсная характеристика h(k) системы дискретного времени равны нулю до нулевого момента времени, т. е. x(n)=0 , n<0 0 или h(k) =0 , k<0.

Преобразование дискретного сигнала по Лапласу
Для частотного анализа сигналов можно воспользоваться преобразованием Фурье или Лапласа. В теории обычно применяют преобразование Лапласа, в котором базисные функции разложения по Фурье дополнены множителем eσt. В результате мнимая переменная jω, обозначающая частоту заменяется переменной p=σ+jω. Общий смысл при этом не меняется.
Дискретный сигнал x(n) в полном виде можно представить
 ,  n=0,1,2,3, …
Преобразование Лапласа от дискретного сигнала xд(t) равно:
 
Подставляя сюда выражение для xд(t), получим
 
Учитывая, что
 
можем записать
 

Комментарии