информационный портал по вопросам биомедицинской инженерии

Сейчас на сайте 0 пользователей и 0 гостей.

Вход в систему

аватар: Ба-хуссейн Абдулазиз
Ба-хуссейн А.А. БМП-109

Какова цель разложения сигналов в ряд Фурье? Преобразование сигнала в его Фурье-спектр – это переход в другую модель представления информации, за-кодированной в сигнале. Часто эта другая модель оказывается более простой для понимания природы сигнала. Например, многие звуковые сигналы состо-ят из сумм колебаний, близких к синусоидальным. Поэтому после преобразо-вания Фурье они выглядят, как несколько пиков в спектре, хотя их форма вол-ны до преобразования Фурье могла быть очень сложной для анализа.
 

  Более того, сама природа нашего слуха такова, что ухо раскладывает посту-пающие в него звуки на отдельные частоты. Звуковая волна, поступающая в ухо, преобразуется в колебания базилярной мембраны. Базилярная мембрана имеет разную жесткость по своей длине, и соответственно – разные собствен-ные частоты колебаний разных участков. Когда на мембрану поступает слож-ное колебание, оно возбуждает колебания тех участков мембраны, которым соответствуют отдельные гармонические составляющие сложного входного колебания. Таким образом, разложение звука на синусоиды (преобразование Фурье) близко по своей природе к механизму функционирования нашего уха.
 
  Рассмотрим, некоторые «недостатки» и «несоответствия» преобразования Фурье.
  1. Преобразование Фурье раскладывает сигнал по кратным частотам. Ес-ли мы раскладываем звук, то базисные частоты получаются, например, такие: 10 Гц, 20 Гц, …, 300 Гц, 310 Гц, …, 4000 Гц, 4010 Гц, … Это не очень хорошо согласуется с нашим восприятием высоты звука. Наше ухо чувствительно не к абсолютным изменениям высоты (на сколько-то герц), а к относительным (на сколько-то процентов).

 Поэтому при анализе звука с помощью преобразования Фурье часто оказывается, что частотное разрешение спектра недостаточно на низких частотах и избыточно на высоких. Казалось бы, что в этом случае можно повы-сить частотное разрешение спектра (увеличив размер FFT), но при этом мы будем анализировать более длинный по времени отрезок сиг-нала, и полученный спектр будет отражать усредненные свойства ис-ходного сигнала в течение всего отрезка FFT.

А такое усреднение по времени не всегда желательно.

2. Базисные функции преобразование Фурье имеют одну и ту же протя-женность, как для высоких частот, так и для низких. Это не всегда удобно, например, при сжатии изображений. Вспомним, как работает алгоритм JPEG. Он разбивает изображение на блоки 8x8 пикселей и выполняет а каждом блоке преобразование Фурье (точнее, его разно-видность, ДКП). После этого некоторые полученные амплитуды обну-ляются (откидываются при кодировании).

  Чаще всего отбрасываются верхние частоты, т.к. они обычно содержат меньше энергии (их ампли-туды меньше). При восстановлении производится обратный процесс: обратное преобразование Фурье. При этом обнуленные амплитуды вы-соких частот вызывают эффект Гиббса: пульсации яркости декодиро-ванного изображения вблизи резких границ в изображении. Визуально такой эффект очень нежелателен.
  Хотелось бы сделать так, чтобы эти пульсации не расползались на весь блок 8x8, а были локализованы в пространстве. Другими словами, хотелось бы, чтобы базисные функ-ции, соответствующие высоким частотам в преобразовании Фурье, бы-ли короче (лучшая пространственная локализация), чем для низких частот.
 

 Чтобы преодолеть эти недостатки, можно пользоваться, например, таким приемом. Для анализа высоких частот использовать FFT с более коротким ок-ном (лучшая локализация в пространстве), а для анализа низких частот – с бо-лее длинным окном (лучшее разрешение по частоте). Для анализа это хорошо, но вот для обработки, сжатия и синтеза – не очень. Для решения таких задач существует вейвлетное преобразование, к рассмотрению которого мы и пере-ходим.
 
  Сначала рассмотрим простой пример – частный случай вейвлетного преобразо-вания. Пусть у нас имеется одномерный сигнал четной длины x[n]. Выполним следующее преобразование. Свернем сигнал x[n] с сигналом h1[n], где сигнал h1[n] состоит из двух единичных отсчетов (h1[0] = 1, h1[1] = 1). Эта операция эквивалентна вычислению сигнала y1[n], который состоит из сумм соседних элементов x[n]. Так если x[n] = {2, 2, 3, 4, 6, 1, 6, 6}, то получается y1[n] = {2, 4, 5, 7, 10, 7, 7, 12, 6} (не забываем, что свертка может расширять сигнал с кон-цов). Здесь индексы y1[n] идут от 0 до 8 (см. уравнение свертки). Сигнал y1[n] – это некоторая сглаженная копия сигнала x[n], т.к. фильтр h1[n] можно рассмат-ривать как примитивный НЧ-фильтр.
 
Теперь рассмотрим сигнал y2[n], получающийся сверткой x[n] с ядром h2[n], где h2[0] = 1, h2[1] = -1. Очевидно, такой «разностный» сигнал будет равен y2[n] = {2, 0, 1, 1, 2, -5, 5, 0, -6}. Легко видеть, что исходный сигнал x[n] можно вы-числить как полусумму сигналов y1[n] и y2[n]. Действительно, это следует из свойств свертки и из выбора функций h1[n] и h2[n]:

Таким образом, можно считать сигнал y1[n] неким грубым низкочастотным приближением x[n], а сигнал y2[n] – «уточняющим» сигналом, содержащим те детали, которые были выброшены их x[n] при НЧ-фильтрации.
 
  Теперь совершим прореживание сигналов y1[n] и y2[n] в 2 раза. Получим сиг-налы z1[n] = {4, 7, 7, 12}, z2[n] = {0, 1, -5, 0}. Оказывается, что исходный сигнал x[n] можно восстановить не только из y1[n] и y2[n], но и из их прореженных ва-риантов z1[n] и z2[n]. Для этого нужно совершить обратные операции. Сначала проводим интерполяцию нулями сигналов z1[n] и z2[n]. Получаем u1[n] = {0, 4, 0, 7, 0, 7, 0, 12}, u2[n] = {0, 0, 0, 1, 0, -5, 0, 0}. После этого сворачиваем полу-ченные сигналы с фильтрами g1[n] = h1[-n] и g2[n] = h2[-n] соответственно и суммируем результирующие сигналы. Получаем {4, 4, 7, 7, 7, 7, 12, 12} + {0, 0, -1, 1, 5, -5, 0, 0} = 2·{2, 2, 3, 4, 6, 1, 6, 6}, т.е. в точности исходный сигнал x[n].
Подытожим схему этого преобразования (см. рис.1).
Рис. 1 Схема дискретного вейвлет-преобразования: разложение и синтез.
 

Комментарии

Отправить комментарий

Содержание этого поля является приватным и не предназначено к показу.
  • Доступны HTML теги: <a> <em> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <dd> <img> <table> <td> <tr> <hr> <div> <span> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <p> <pre> <adress> <center>
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.

Подробнее о форматировании

5 + 3 =
Решите эту простую математическую задачу и введите результат. Например, для 1+3, введите 4.

Комментарии