информационный портал по вопросам биомедицинской инженерии

Сейчас на сайте 0 пользователей и 0 гостей.

Вход в систему

аватар: Аль-кавати Ахмед Абдо

Параметрическое моделирование
Под параметрическим моделированием понимаются выбор некоторой математической модели случайного процесса и последующий подбор параметров этой модели для обеспечения максимального соответствия между сигналом, формируемым моделью, и имеющейся в наличии реальной выборкой данных.

Одной из широко используемых на практике является авторегрессионная (AR) модель, в которой случайный сигнал формируется путем пропускания дискретного белого шума через “чисто рекурсивный” (то есть не использующий задержанных отсчетов входного сигнала) формирующий фильтр. Четыре функции пакета Signal Processing — arburg, arcov, armcov иaryule — предназначены для получения оценок коэффициентов формирующего фильтра и дисперсии (мощности) возбуждающего фильтр белого шума. Методы расчета, используемые этими функциями, были указаны ранее, в разделе “Авторегрессионные методы”, где шла речь об авторегрессионном спектральном анализе.

Если в нашем распоряжении имеется оценка комплексного коэффициента передачи системы на различных частотах, можно построить реализуемую модель системы, частотная характеристика которой будет максимально близкой к измеренной. Под реализуемостью системы здесь подразумевается представимость ее функции передачи в виде дробно-рациональной функции с заданными порядками полиномов числителя и знаменателя. Параметрическое моделирование в данном случае сводится к нахождению оптимальных коэффициентов полиномов числителя и знаменателя функции передачи. Данная задача решается двумя функциями пакета Signal Processing: функция invfreqs позволяет построить модель аналоговой системы, а функцияinvfreqz выполняет аналогичную операцию применительно к дискретным системам.

Еще один вариант задачи параметрического моделирования предполагает построение модели системы по имеющейся оценке ееимпульсной характеристики. Для этого в пакете Signal Processing имеются две функции. Функция prony использует тот факт, что импульсная характеристика рекурсивной дискретной системы при отсутствии у нее кратных полюсов представляет собой сумму дискретных экспоненциальных функций (в общем случае комплексных). Алгоритм, реализуемый данной функцией, был первоначально разработан в 18 веке бароном де Прони с целью подгонки параметров экспоненциальной аналитической модели под экспериментальные данные. Устойчивость полученной системы не гарантируется, однако первые n отсчетов (n — заданный при расчете порядок числителя функции передачи системы) ее импульсной характеристики точно совпадают с заданными.

Вторая функция моделирования системы по импульсной характеристике — функция stmcb — не стремится обеспечить точное совпадение начальных фрагментов импульсных характеристик — вместо этого она минимизирует квадратичное отклонениеполученной характеристики от заданной, то есть сумму квадратов модулей разностей отсчетов полученной и желаемой импульсных характеристик. Функция реализует итерационный метод Штейглица—МакБрайда, который сводится к многократному решению системы линейных уравнений относительно коэффициентов полиномов функции передачи искомой системы.

В качестве примера получим методами Прони и Штейглица—МакБрайда модель системы третьего порядка, задав в качестве образца треугольную импульсную характеристику:

h = [1 2 3 4 5 4 3 2 1];        % импульснаЯ характеристика
[b1, a1] = prony(h, 3, 3);    % метод Прони
[b2, a2] = stmcb(h, 3, 3);    % метод Штейглица—МакБрайда
                                          % графики импульсных характеристик полученных систем
impz(b1, a1, 30)
title('Prony')
figure
impz(b2, a2, 30)
title('Stmcb')
 

Сравнение графиков наглядно демонстрирует различия двух алгоритмов. При использовании метода Прони первые четыре отсчета полученной импульсной характеристики точно совпадают с заданными, однако в дальнейшем отклонения от заданных величин сильно возрастают, а после окончания заданного фрагмента наблюдается “хвост” с довольно большим уровнем, так как функция prony не делает никаких предположений о требуемых значениях импульсной характеристики за пределами заданного фрагмента. Функция stmcb минимизирует квадратичную ошибку воспроизведения заданной бесконечной импульсной характеристики, при этом по окончании явно заданного фрагмента она считается равной нулю. В результате точного соответствия отсчетов заданной и полученной импульсных характеристик не наблюдается (за исключением первого), зато ошибка воспроизведения характеристики “размазана” по отсчетам более равномерно.

 

Линейное предсказание
Если дискретный случайный процесс не является белым шумом, его отсчеты оказываются коррелированными друг с другом. Это позволяет, зная корреляционную функцию процесса, предсказывать значение его очередного отсчета. Предсказанное значение вычисляется как линейная комбинация предыдущих отсчетов процесса. В этом состоит основная идея линейного предсказания. Линейное предсказание используется для параметрического спектрального анализа (см. ранее), идентификации систем, анализа речевых сигналов и сжатия информации при их передаче.

Модели систем, основанные на линейном предсказании, могут быть представлены в различных формах и, соответственно, описаны с помощью различных наборов параметров. Ряд функций пакета Signal Processing позволяет преобразовывать описание модели из одной формы в другую. Эти функции перечислены в следующей таблице.


Кроме того, в пакете Signal Processing имеется еще несколько функций, связанных с линейным предсказанием. Так, для расчета коэффициентов предсказывающего фильтра необходимо решить систему линейных уравнений, матрица которой представляет собой корреляционную матрицу входного сигнала. Эта матрица обладает рядом свойств, благодаря которым можно сократить число вычислительных операций, требующихся для решения системы линейных уравнений. Во-первых, корреляционная матрица является самосопряженной (то есть не меняется после применения к ней эрмитова сопряжения — сочетания транспонирования с комплексным сопряжением). Для вещественного сигнала самосопряженность означает просто симметрию матрицы относительно главной диагонали. Во-вторых, в случае стационарного случайного процесса (а только для таких процессов можно использовать предсказывающий фильтр с постоянными параметрами) корреляционная матрица являетсяматрицей Теплица — вдоль ее диагоналей, параллельных главной, стоят одинаковые числа. Наконец, правая часть системы уравнений представляет собой сдвинутый на одну позицию первый столбец корреляционной матрицы. Системы линейных уравнений с матрицами, обладающими указанными свойствами, называются системами уравнений Юла—Уолкера, а для их решения был разработан рекурсивный метод Левинсона—Дурбина. Данный итерационный алгоритм реализуется функциейlevinson. Функция rlevinson решает обратную задачу — позволяет найти вектор отсчетов корреляционной функции сигнала по заданным коэффициентам линейного предсказания.
Функция lpc реализует расчет коэффициентов линейного предсказания автокорреляционным методом и является аналогом функции aryule (см. ранее раздел, посвященный параметрическому спектральному анализу). Эти две функции различаются лишь MATLAB-кодом, используемым для вычисления оценки корреляционной матрицы. Даваемые ими результаты совпадают с точностью до вычислительных погрешностей.

Комментарии

Отправить комментарий

Содержание этого поля является приватным и не предназначено к показу.
  • Доступны HTML теги: <a> <em> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <dd> <img> <table> <td> <tr> <hr> <div> <span> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <p> <pre> <adress> <center>
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.

Подробнее о форматировании

11 + 3 =
Решите эту простую математическую задачу и введите результат. Например, для 1+3, введите 4.

Комментарии